Bonjour!

Alors pour ce QCM on a X la variable aléatoire égale au nombre de garçons sur n naissances.

L’échantillon est donc de taille n; et selon l’énoncé on en déduit que pour X:

– le succès est la naissance d’un garçon

– l’échec est la naissance d’une fille

Donc X va suivre une loi Binomiale de paramètres p=0.51 et n est inconnu.

Ensuite on nous demande la valeur de n minimale pour que la probabilité pour que, sur n naissances prises au hasard, le nombre de filles soit supérieur ou égal au nombre de garçons, soit inférieure à 0,02.

Il faut traduire cette phrase en langage UE4: ça veut dire que sur les n naissances, l’événement "la moitié ou plus ( Soitn/2naissances ou plus) sont des filles" a une probabilité de 0.02. Ou encore sur les n naissances, la moitié ou moins (n/2 ou moins)sont des garçons, avec une probabilité de 0.02.

Au final ça nous donne:

P( X≤ n/2 ) ≤ 0.02

Ensuite dans l’énoncé on nous dit que n est grand, ce qui suppose que n>30 np>5 nq>5 -> on va pouvoir approximer par une loi Normale N(np, V(npq)) donc N(0.51n, V(0.51×0.49xn))

On centre et on réduit:

P( X ≤ n/2 ) ≤ 0.02

p (U ≤ ( n/2 – 0.51n)/V(0.51×0.49xn) ) ≤ 0.02

Dans la table de la loi normale on cherche le 0.02 et on trouve que π(2.05)=0.02 ( plus précisement 0.0202, mais ici on choisit la valeur la plus proche de 0.02 qu’on trouve dans la table, donc 0.0202)

p (U ≤ ( n/2 – 0.51n)/V(0.51×0.49xn) ) ≤ π(2.05)

Il faut résoudre :

n/2 – 0.51n)/V(0.51×0.49xn) ≤ 2.05

1ere méthode: Résoudre l’équation est trouvé n ≥ 10600.

2ème méthode, + rapide le jour J: tu calcules "n/2 – 0.51n)/V(0.51×0.49xn)" pour chaque valeur de n qu’on te propose, donc ici 103 et 10600 et tu gardes seulement celle qui est égal (ou très très très proche) de 2.05.

Pour 103 on trouve 103/2 – 0.51×103)/V(0.51×0.49×103)=0.203 -> FAUX POUR 103.

Pour 10600 on trouve environ 2.05 -> VRAI POUR 10600.